角 運動量 演算 子 交換 関係。 角運動量演算子の交換関係の公式の導出

角運動量の交換関係からみる固有状態

そう言えば、数年前に高校数学から行列がなくなって、非可換な代数を大学に入ってからしかしなくなったようなので、なるべく丁寧に(助長に?)途中式を書いていこうと思います。 3 角運動量演算子の交換関係 ここで,角運動量の成分同士の交換関係を調べておく。 なんかさすがに導出が助長過ぎるかな? 分配法則通常の実数に関する分配法則は、任意の実数 について が成り立つというものでしたね。 2行目から3行目への変形では則を(各項に対して2回)使ってますが、可換な量の交換子は消えるのでほとんどの項がなくなります。 このあたりの変形で全項を書き下さなくても残る項が書けるようになれば、計算で困ることはないかと思います。 2 のとき, と は可換であるという。

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軌道角運動量からスピンの性質を導く

同様に, 1. だけを導けば充分でしょう。 の2乗と成分の交換関係の2乗と成分の交換関係は、昇汞、下降を定義してあれこれやる方が奥深いんですが、交換関係を導くだけが目的なら結構遠回りなので、これはまたの機会に。 軌道角運動量 まず最初に量子論における軌道角運動量の性質を復習しておこう。 交換子についても同様の関係が成り立ちます。 名前はともかく、公式自体は高校数学で出てきます。 しかし,この場合,角運動量の一つである スピン角運動量の存在理由がはっきりしません。 一方,角運動量の2乗と角運動量の x 成分は, 1. 交換関係を計算するときに使うと便利な公式2つの に対して、交換子 commutator は以下のように定義されます: この定義をもとに、次の公式を導いていきます:• 固有値を決める。

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角運動量の交換関係からみる固有状態

これが以下のスピン導出における唯一本質的な仮定である。 あとは調和振動子のときとおんなじような論法が使える。 とくに証明などは行わないので、忘れてしまった人は量子力学の教科書を見直してほしい。 シュテルン・ゲルラッハの実験では、磁場中を通過した銀粒子のビームが2つに分裂するという現象が観察された。 Revised: 2007-07-02. 一般に、エルミート行列は適当なユニタリー行列によって対角化することができる。

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1.3 角運動量演算子の交換関係

角運動量演算子の交換関係 角運動量と呼ばれるエルミート演算子 J k を次の交換関係を満たすものとする。 『』の付録にの交換関係の例題? また、軌道 の各成分は以下のように定義されます: の成分同士の交換関係さて、まずは成分同士の交換関係。 2 のような交換子を定義する。 位置、運動量の交換関係を使っていきなりの成分間の交換関係を導いてもまぁいいんですが、結構計算がゴチャゴチャするので、まず交換関係を計算するときに使うと便利な公式をいくつか導いてから、それらを使っての交換関係を計算することにしましょう。 4次元以上の高次元空間において我々はスピンの性質をまったく何も知らない。 その意味でこのページの内容は軌道角運動量とスピンを統一する理論だったわけである。

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1.3 角運動量演算子の交換関係

則 反可換性交換子は、2つの引数を入れ替えると負符号が付きます。 )しかしそのような論法をとらなくともスピンは理論的にきちんと導くことができる。 それには正攻法では難しいから、と同じように、すこし見方を変えて計算していく。 (答えが気になる人は「」を参照) また、上での導出法は「スピン」という存在に対する理解を深めてもくれる。 まずはこれらの演算子の性質について、前回と同じように交換関係から調べてみよう。

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回すもの:量子力学:角運動量|touya|note

実数 の2つの関数 に対して が成り立つという公式です。 角運動量の大きさ 角運動量の大きさを表す演算子は、次のように表せるだろう。 ところが自然をよく観察してみるとこの対称性は完全ではないらしい。 ただ、あまりに途中式を書きすぎると変形の流れが分かりにくくなるときがあるので、そして単純に面倒なので、記事が進むにつれて途中式を省略していきます。 なので、まずは右辺各項と との交換子を個別に計算しておきましょう: これらの結果より となって、の2乗と成分の交換関係が消えることを導けました。 角運動量の x 成分と y 成分の間の交換関係を調べると, 1. 3 角運動量演算子の交換関係 1. 11 1. 5 〜 1. 少なくとも僕の知る範囲では。 それは現在では スピンと呼ばれるものである。

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角運動量演算子の交換関係の公式の導出

7 である。 の交換関係を求めるでは、上記の公式を踏まえて、の交換関係を計算してみましょう。 同様の関係が交換子についても成り立ちます。 考えてみるのも面白いだろう。 縮退がないときには結構簡単に証明できる事実だ。 例としてシュテルン・ゲルラッハの実験を考えてみよう。 3 1. ということで、ここでは普通にそのまま交換関係を計算することにします。

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角運動量演算子の交換関係の公式の導出

しかしこの話の流れを見て、あらかじめスピンやパウリ行列の性質を知っていたから、それとつじつまを合わせるように無理矢理ロジックを組み立てたようだと感じる人がいるかもしれない。 確かにそれはある程度正しいのであるが、しかし元々この方法は3次元でなく一般次元の空間においてスピンの性質を調べるために考えたものである(実は上で述べたスピン導出の論法は一般の次元においてもほぼそのままの形で適用できる)。 これも だけを導けば充分でしょう。 一般に、異なる2つの演算子の同時固有状態が存在するとき、その2つの演算子は交換するという性質がある。 エルミート行列かつユニタリー行列• 量子力学がどのような原理・数学的基礎を土台に持つのか垣間見ることができます。 (整数値の軌道角運動量を考えている限り磁場によるビーム線の分裂は奇数本にしかならない。

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